☆ Leibniz et Vandermonde

Soit \(n\) un entier naturel non nul. On note \(f^{(n)}\)  la dérivée \(n\) - ième d'une fonction \(f\)  et on admet la formule suivante, appelée formule de Leibniz.

Si \(f\)  et \(g\)  sont \(n\)  fois dérivables sur un intervalle \(I\) , alors le produit \(fg\)  est \(n\)  fois dérivable sur \(I\)  et \(\boxed{\left(fg\right)^{(n)}=\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}f^{(k)}g^{(n-k)}}\)  , avec \(\boxed{\displaystyle\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\left(n-k\right)!}}\) .

On considère la fonction  \(\varphi_n\)  définie sur \(\mathbb R\)  par \(\varphi_n(x)=x^{2n}\) .

1. Vérifier que, pour tout réel \(x\) ,   \(\varphi_n^{(n)}(x)=\dfrac {(2n)!}{n!}x^{n}\) .

2. On considère, pour tout entier naturel `n`  non nul, la fonction `f_n`  définie sur `\mathbb{R}`  par `f_n(x)=x^n.`
``     a. Pour tout entier naturel   \(k\)  inférieur ou égal à  \(n\)  et pour tout réel  \(x\) , calculer \(f_n^{(k)}(x)\)  et \(f_n^{(n-k)}(x)\) .
    b. En écrivant \(\varphi_n\)  sous la forme \(\varphi_n(x)=x^{n}x^n\)  et en utilisant la formule de Leibniz, démontrer la formule de Vandermonde : \(\displaystyle \sum_{k=0}^n\binom{n}{k}^2=\binom{2n}{n}\) .